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the art of computer programming 1.2.5 を読む

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置換と階乗

非負整数に関してn の階乗は以下のように定義される。
n! = 1 \times 2 \times ... \times n = \prod_{k=1}^nk

しかし、n が整数でない時にはn! という記法は余り使われない。
その代わり、以下の記法を用いる。
n! = \Gamma(n + 1) = n\Gamma(n)

この関数はガンマ関数と呼ばれ、次のように定義される。
\Gamma(x)=\frac{x!}{x}=\lim_{m \to \infty}\frac{m^xm!}{x(x+1)(x+2)...(x+m)}